I.1. Sistem Bilangan Biner.
Sistem
bilangan yang paling kita kenal adalah sistem bilangan desimal. Selain sistem
bilangan desimal terdapat bermacam-macam sistem bilangan, salah satunya ada-lah
sistem bilangan biner. Masing-masing
sistem bilangan tersebut dibatasi oleh basis yaitu banyaknya angka atau digit
yang digunakan.
Sistem
bilangan desimal mempunyai basis = 10 karena sistem bilangan desimal mempunyai
10 digit yaitu dari 0 sampai dengan 9. Arti biner adalah dua. Sistem bilangan
biner hanya menggunakan dua digit, yaitu 0 dan 1. Seluruh digit yang lain (2
sampai 9) tidak dipergunakan. Dengan perkataan lain, bilangan-bilangan biner
merupa-kan string dari 0 dan 1.
Bobot
dari suatu bilangan tergantung kepada basis-nya dan susunan bilangan ter-sebut.
Misalnya untuk bilangan desimal 278,94 mempunyai bobot :
(2x102)+(7x101)+(8x100)+(9x10-1)
+(4x10-2) = 200 + 70 + 8 + 0,9 + 0,04 = (278,94)10
Dari
penulisan di atas kita dapat melihat bahwa 2 mewakili harga ratusan (102),
7 mewakili harga puluhan (101), 8 mewakili harga satuan (100),
9 mewakili harga perse-puluhan (10-1), dan 4 mewakili harga
perseratusan (10-2).
Demikian
pula halnya dengan bobot bilangan untuk bilangan biner, cara per-hitungannya
persis sama, cuma angka 10 diganti dengan angka 2. Contoh untuk bilangan
1101,101:
(1x23) + (1x22)
+ (0x21) + (1 x2 0) + ( 1x 2-1) + ( 0x2-2)
+ ( 1x2-3) = 8+ 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,125 = ( 13,625)10
Contoh 2 10111,011= 23,375
Dari
perhitungan dapat dilihat bahwa digit yang paling kanan mempunyai nilai yang
terkecil, sedang digit yang paling kiri mempunyai nilai yang terbesar. Digit yang mempunyai nilai yang terkecil disebut LSB (Least
Significant Bit) dan digit yang mempunyai nilai yang terbesar disebut MSB (Most
Significant Bit).
I.2. Berhitung Biner.
Sebagaimana halnya
dengan bilangan desimal, yang dapat dilakukan di dalamnya berbagai operasi
komputasi (perhitungan), maka pada bilangan-bilangan biner dapat pula
dikerjakan operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
I.2.1. Penjumlahan Biner.
Penjumlahan bilangan biner sama
saja caranya dengan penjumlahan bilangan desi-mal. Aturan
yang digunakan untuk penjumlahan adalah :
0 +
0 = 0
0 +
1 = 1
1 +
0 = 1
1 +
1 = 0 , dengan pindahan 1 pada bit biner sebelah kirinya.
Contoh :
1).
1 0 0 1 (9) 2). 0 1
1 1 (7)
1 1 1
0 (14) 1
0 1 0
(10)
---------------
+ ----------------------------. +
1 0 1 1 1
(23) 10
0 0 1 (17)
I.2.2.
Pengurangan Biner
Pengurangan bilangan biner dapat
dilakukan dengan cara yang sama seperti pengurangan bilangan desimal, yaitu
sebagai kebalikan dari penjumlahan. Tiap-tiap bit dari pengurang (subtrakenol) mengurangi bit yang
berpadanan dengan bilangan yang dikurangi (minunol). Jika angka diminunol lebih
kecil dari angka pengurang, maka dipinjam satu (1) dari lajur berikutnya
sebelah kiri. Meminjam kebalikan dari pindahan . Cara pengurangan demikian
ternyata tidak cocok untuk diwujudkan secara elektronik, karena akan membuat
rangkaian menjadi rumit. Hal ini disebabkan karena tidak ada konsep logika -1.
Sehingga perlu dicari cara untuk mempresentasikan bilangan-bilangan negatif.
Untuk mengatasai cara ini, maka dipakai metoda " mengkomplemen dan
menjumlah".
Komplemen
dari suatu bilangan biner diperoleh dengan cara membalik tiap-tiap bit dari
bilangan tersebut.
Komplemen
dari subtrakenol dijumlahkan dengan minunol dan hasil pindahan dari jumlah bit
yang bobotnya paling besar (MSB) dicatat. Jika hasilnya
adalah 1, berarti bahwa hasil pengurangan adalah bilangan positif. Untuk mendapatkan
hasil akhirnya, maka harus dilakukan "pemindahan memutar ke ujung"
(lend around car-ry) dan bit yang paling kecil bobotnya (LSB) harus ditambahkan
dengan bit pin-dahan tersebut. Bila bit pindahannya adalah 0, maka dapat
disimpulkan:
a.
Hasil pengurangan adalah
negatif.
b.
Hasil pengurangan merupakan
komplemen dari jawaban akhir karena itu untuk mendapatkan hasil akhir yang
benar, maka hasil penjumlahan tersebut harus dikomplemenkan.
Contoh:
1). 1001 (9) - 0100 (4) 2).
0111 (7) - 1101(13)
1001 (9) 0111 (7)
1011 (komplemen-1 dari 4) 0010(komplemen dari 13
------------ +
--------- +
1 0100 (jumlah) 01001jumlah)
1
(pindahan memutar ke ujung) 0110 (komplemen-1=hasilnya)
-------+ menunjukkan
hasilnya bil.negatif -6
menanda- 0101 (Hasilnya +5)
kan hasilnya bil.positif
1100
7 0111 à komp-1 1000
-----
1 0100
1
0101à 5
Bila
menggunakan metode ini ada dua hal yang harus diperhatikan :
1. Kedua bilangan harus dituliskan
dalam jumlah bit yang sama, misalnya bila suatu bilangan yang terdiri dari 5
bit (10011) dikurangi dengan bilangan yang terdiri dari 3 bit (101), maka
bilangan tersebut harus dituliskan dahulu dalam 5 bit yaitu 00101 dan bila
dikomplemenkan akan menjadi 11010.
2. Perlu diperhatikan jumalh bit yang
digunakan dalam perhitungan sehinggaakan menjadi jelas mana bit yang merupakan
hasil pindahan yang akan menentukan tanda bilangan. Bila perhitungan
menggunakan 5 bit, maka bit yang ke-6 meru-pakan pindahan, jadi bukan bit yang
paling besar bobotnya. Bit tersebut hanya merupakan tanda positif atau negatif
dari bilangan hasil pengurangan yang juga akan menentukan.
Contoh :
111 (7) - 10110 (22)
00111
(7)
01001
(komplemen dari 22)
-------- +
10000 (jumlah)
01111 (komplemen = hasilnya - 15)
1.2.3. Perkalian Biner
Cara
untuk mengalikan bilangan biner seperti pada perkalian bilangan desimal.
Contoh : 1100 (12) x 1011 (4)
------------------> 1100
1011
-------x
1100
1100
0000
1100
------------
10000100 (Hasil = 132)
1.2.4. Pembagian Bilangan Biner
Caranya sama saja
dengan pembagian pada bilangan desimal.
Contoh : 1010 (10) : 100 (4) = 10,1 (2,5) 10,1
100 1010
---
100
100
----
-
0
1.3.
Konversi
Bilangan dari Satu Radiks ke Radiks Lainnya.
1.3.1.
Mengubah
Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Biner.
Caranya dapat dilihat pada bahagian sebelumnya.
1.3.2.
Mengubah
Bilangan desimal menjadi Bilangan Oktal.
Caranya
sama dengan untuk proses konversi bilangan biner hanya pembaginya yang berbeda
yaitu 8.
Contoh
: Carilah Bilangan Oktal dari (872)10
872
: 8 = 109 sisa 0 (LSB)
109 : 8 = 13 sisa 5
13 : 8 =
1 sisa 5
1 : 8 =
0 sisa 1 (MSB)
Hasilnya
: (872)10 = (1550)8
1.8*3+5.8*2+5.8*1+0.8*0
512+320+40+0=872
1.3.3. Mengubah Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Hexadesimal.
Caranya adalah sama dengan
mengubah ke bilangan biner hanya pembaginya = 16.
Contoh : Carilah
bilangan hexadesimal dari (8754)10
8764 : 16 = 547 sisa 12 (LSB) 0-15 10 A, 11 B, 12 C
547 :
16 = 34 sisa 3
34 :
16 = 2 sisa 2
2 :
16 = 0 sisa 2 (MSB)
Hasilnya : (8754)10 =
(223C)16
1.3.4.
Mengubah
Bilangan Biner Menjadi Bilangan Oktal.
Untuk
mengubah bilangan biner menjadi bilangan oktal yaitu dengan menge-lompokkan
bit-bit bilangan biner tersebut yang terdiri dari 3 bit dimulai dari LSB masing-masing
kelompok tersebut. Kemudian dibaca bobot bilangannya atau nilai desi-malnya.
Susunan bobot-bobot bilangan tersebut sudah merupakan bilangan oktalnya.
Contoh
: Hitunglah nilai oktal dari (101110111)2
101 / 110
/ 111 = 101
110 111
5 6 7
Hasilnya
: (101110111)2 = (567)8
1.3.5.
Mengubah
Bilangan Oktal Menjadi Bilangan Biner.
Cara
mengubah bilangan oktal menjadi bilangan biner yaitu masing-masing digit
bilangan oktal tersebut diubah langsung menjadi bilangan biner yang terdiri
dari 3 bit. Kemudian kelompok bit tersebut disusun
sesuai dengan urutan semula.
Contoh : Ubahlah (251)8
menjadi bilangan biner.
(
2 5 1 )8 = ( 010 101 001)2
010 101
001
1.3.6.
Mengubah
Bilangan Biner Menjadi Bilangan Hexadesimal.
Cara
mengubah bilangan biner menjadi bilangan hexadesimal yaitu dengan cara
mengelompokkan bilangan biner tersebut menjadi kelompok yang terdiri dari 4 bit
dimulai dari LSB. Susunan dari bobot bilangan masing-masing kelompok tersebut
adalah bilangan hexadesimal yang dicari.
Contoh
: Ubahlah ( 110101101011)2 menjadi bilangan hexadesimal.
1101 / 0110 /
1011 = ( D6B )16
13=D
6 B
1.3.7.
Mengubah
Bilangan Hexadesimal Menjadi Bilangan Biner.
Cara
untuk mengubah bilangan hexadesimal menjadi bilangan biner yaitu masing-masing
digit bilangan hexadesimal tersebut diubah langsung menjadi bilangan biner yang
terdiri dari 4 bit kemudian kelompok bit tersebut disusun sesuai dengan urutan
semula.
Contoh : Ubahlah (251)16
menjadi bilangan biner .
( 2
5 1
)16 = (1001010001)2
0010 0101
0001
1.3.8. Bilangan Pecahan.
Rumus bobot bilangan
untuk bilangan pecahan :
d-1r
-1 + d -2 r -2 + ...............+ d -n r -n
Sehingga rumus umum
untuk suatu bilangan utuh dan pecahan adalah :
N(r) = dnrn + dn-1
rn-1 + .........+ d1r1 + d0
r0 + d -1r-1 + d-2 r-2
+ ........+ d-n r-n
dimana : n = menunjukkan digit yang ke berapa dihitung
dari do
d = digit yang digunakan r = radiks dari bilangan
Contoh
:
(
25,1 )8 = ( 2x 81
) + ( 5 x 80 ) + ( 1x 8-1 ) = 16 + 5 + 1/8 = (
21,125 )10
(
10,11 )2 = ( 1 x21 ) + (1 x 2-1 ) + ( 1x2-2 ) = 2 + 0,5 + 0,25 = ( 2,75 )10 Untuk
mengubah bilangan desimal yang mengandung pecahan menjadi bilangan radiks lain,
maka masing-masing bagian yang utuh dan yang pecahan dikerjakan
sendiri-sendiri. Bilangan yang utuh iubah dengan cara pembagian sesuai dengan
radiksnya terus-menerus sampai habis. Sedangkan bilangan pecahan diubah dengan
cara mengalikan berturut-turut dengan radiks baru yang dikehendaki.
Tiap-tiap hasil perkalian yang
utuh (bukan pecahan) akan menjadi digit-digit pecahan bilangan baru tersebut.
32 16 8 4 2 1
Contoh
: Ubahlah ( 20,11 )10 menjadi bilangan biner.
Bagian
yang utuh Bagian
pecahan
20 :
2 =
10 sisa 0 (LSB) 0,11 x
2 = 0,22 0
10 :
2 =
5 sisa 0 0,22 x 2 = 0,44 0
5 : 2
= 2 sisa 1 0,44
x 2 = 0,88 0
2 : 2
= 1 sisa 0 0,88
x 2 = 1,76 11
1 : 2
= 1 sisa 1 (MSB) 0,76
x 2 = 1,52 1
( 20 )10 = ( 10100
)2 0,52 x 2
= 1,04 1
0,04 x 2 = 0,08 0
(
0,11 )10 = ( 0,000111 )2
10/3
Hasilnya : (
20,11 )10 = ( 10100,000111)2
1.4. Komplemen-2
Komplemen-2
dari suatu bilangan biner diperoleh dengan menambahkan 1 pada komplemen-1.
Komplemen-2
= Komplemen-1 + 1
Contoh :
Komplemen-2
dari 1011 adalah ...........
Solusi : Komplemen-1 dari 1011
-------> 0100
0100
1
-------
+
0101 (dalam bentuk komplemen-2)
Pengurangan Komplemen-2
Cara
mengurangi suatu bilangan biner dengan menggunakan komplemen-2 yaitu
pengurangnya diubah dahulu ke bentuk komplemen-2 kemudian dijumlahkan dengan
bilangan yang dikurangi. Jika ada pindahan (carry) pada
bit MSB-nya, maka pindahan tersebut dibaikan dan hasilnya berupa bilangan
positif.
Contoh: 7 - 5 = .......
111
(7) 111 (7)
101
(5) _ 011 + (komplemen 2 dari 5)
1010
Hasilnya
adalah 010 (= + 2)
carry
digit-1 diabaikan
27 - 20 =
........
11011 (27) 11011
(27)
10100 (20) _ 01100
+ (komplemen-2 dari 20)
1
00111
diabaikan Hasilnya : 00111 ( + 7 )
Jika tidak
ada pindahan pada bit MSB-nya berarti hasilnya negatif dan berada dalam bentuk
komplemen-2.
Contoh : 5 - 7 = ...........
101
(5) 101 (5)
111
(7) _ 001 +
( komplemen-2 dari 7)
110 (berada dalam bentuk kompl-2)
Hasilnya
: komplemen-2 = komplemen-1 + 1
110 = 101 + 001
dikomplemenkan
menjadi = 010 ( = - 2)
1.5. Bilangan BCD ( Binary Coded Desimal)
Sistem bilangan BCD menggunakan
kode biner 4 bit untuk merepresentasikan bilangan desimal 0 sampai 9. Bilangan
yang lebih besar dari bilang-an ini dinyatakan dengan 2 atau lebih kelompok
bilangan biner 4 bit.
Contoh : 28 ditulis 0010 1000 yang ekivalen dengan (0010 x 101
) + (1000 x 100 )
Nibble
adalah string dari 4 bit. Bilangan BCD (Binary-coded-desimal) mengungkapkan
setiap digit desimal sebagai sebuah nibble. Sebagai contoh : 2.945 dapat diubah
menjadi bilangan BCD sebagai berikut :
2 9 4 5
0010 1001 0100 0101
Sebagaimana yang kita lihat,
setiap digit desimal dikodekan dengan sebuah nibble.
Pada
penjumlahan bilangan BCD yang hasilnya lebih besar dari 9 ( 1001 ) maka harus
dilakukan pindahan ke kelompok berikutnya.
Contoh : 25 + 18 = 43
0010 0101
(25)
0001 1000 + (18)
0011 1101
1 + 1010 _
0100 1101
0101 +
1 0010
1 +
0011
4 3
No comments:
Post a Comment