Erick Evendy's blog: aturan trapesium

Aturan Trapesium Rekursif

Aturan Trapesium Rekursif merupakan suatu metode pengintegralan dalam analisis numerik.di dalam Kalkulus, integral tentu didefinisikan sebagai sebuah limit jumlah Riemann.Selanjutnya,menurut Teorema Dasar Kalkulus integral tersebut dapat dihitung dengan rumus,

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$

Dengan F(x) adalah antiderivatif f(x) (yakni F’(x)=f(x)). Banyak integral tentu yang dapat dihitung dengan rumus tesebut, namun demikian, tidak sedikit integral tentu yang tidak dapat dihitung dengan rumus diatas, hal itu dikarenakan integran f(x)tidak mempunyai antiderivatif yang dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam hal ini perhitungan yang dapat dilakukan adalah secara numerik.

Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan para ilmuwan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam mendapatkan nilai-nilai hampiran integral tentu, digunakan banyak metode, salah satu metode yang dapat digunakan adalah Aturan Trapesium Rekursif. Berikut akan dijelaskan penghitungan integral tentu menggunakan Aturan Trapesium Rekursif.

Aturan Trapesium Rekursif

Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada [a,b] . Misalkan a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n suatu partisi sedemikian seihngga x_k = x₀ + kh dengan h = (b − a) / n untuk k = 0,1,2,3,...n. Perhatikan aturan trapesium untuk fungsi f terhadap partisi diatas (untuk keperluan pembahasan pada bagian ini, kita gunakan notasi kuadratur dengan menyertakan cacah dan lebar subinterval),

$\ T_n(f,h) =\frac{h}{2}(f_0+2f_1+2f_2+....+2f_{n-1} + f_n)$

$=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+h(f_1+f_2+....+f_(n-1))$

$=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+ h \sum_{k=1}^{n-1} f_k$ ...................(1)

Jika lebar setiap subinterval diperkecil separonya, maka didapat

$\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{h}{4}(f_0+f_{2n})+\frac{h}{2}\sum_{k=1}^{2n-1} f_k$

$=\frac{h}{4}(f_0+ f_{2n})+ \frac{h}{2}\sum_{j=1}^{n-1}f_{2j}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}$ ...................(2)

$\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{T_n(f,h}{2}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}$ ...................(3)

Pada (1) berlaku f_k = f(x₀ + kh) , sedangkan pada (2) berlaku f_k = f(x₀ + kh / 2 , sehingga f_2k , pada (2) sama dengan f_k pada (1). Rumus (3) disebut rumus trapesium rekursif. Rumus ini memungkinkan penggunaan aturan trapesium majemuk secara efisien, tanpa harus menghitung ulang nilai-nilai fungsi di beberapa absis yang sudah dihitung sebelumnya. Untuk h = (b − a) , dan n = 1,2,4,8,16....... atau n = 2⁰,2¹,2²,2³,2⁴,......,2^k...... Kita akan mendapatkan barisan aturan trapesium T₀,T₁,T₂,T₃,.....T_k,.... dengan, $T_0 = T_1(f,h)=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))$ dan, $T_k=T_{2^k}(f,\frac{h}{2^k})$ , k=1,2,3,... yang memenuhi hubungan $T_{k+1}=\frac{T_k}{2}+\frac{h}{2^{k+1}}\sum_{j=1}^{2^k}f_{2j-1}$ , dengan $f_1=f(a+i(\frac{h}{2^{k+1}})$ ............... (4)

Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif

Dalam menghitung hampiran $\int_a^b f(x)\,dx$ dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;

h = b − a

$T_0=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))$

$T_1=\frac{T_0}{2}+\frac{h}{2}f_1$

$T_2=\frac{T_1}{2}+\frac{h}{4}(f_1+f_3)$

$T_3=\frac{T_2}{2}+\frac{h}{8}(f_1+f_3+f_5)$ . . . dst

Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB

Misalkan kita akan menghitung integral $\int_1^5 f(x)\,dx$ ,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya

function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)

h=b-a;

if n==0, Tn=h*(f(a)+f(b))/2;

else if n>0

Erick Evendy's blog

Translate

Sunday, April 28, 2013

aturan trapesium

No comments:

Post a Comment